프랙탈은 일반적으로 자기 유사성이 아닙니다.

프랙탈은 일반적으로 자기 유사성이 아닙니다.
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프랙탈 차원에 대한 설명입니다.
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한 가지 기술 참고 사항: 정수 차원의 도형을 갖는 것이 가능합니다. 염두에 두어야 할 예는 매우 거친 곡선인데, 이는 정확히 거칠기 수준 2를 달성하는 경우입니다. 약간 거친 것은 약 1.1차원일 수 있습니다. 매우 거친 것은 1.5일 수 있습니다. 그러나 매우 거친 곡선은 최대 2.0(또는 그 이상)까지 도달할 수 있습니다. 이에 대한 전형적인 예는 만델브로 집합의 경계입니다. 시에르핀스키 피라미드에도 2차원이 있습니다(계산해 보세요!).

적어도 만델브로가 쓴 것처럼 프랙탈의 적절한 정의는 "하우스도르프 차원"이 "위상적 차원"보다 큰 모양입니다. 하우스도르프 차원은 제가 이번 영상에서 보여드린 상자 계수 차원과 어떤 의미에서는 상자 대신 공을 사용하여 계수하는 것과 유사하며, 많은 경우 상자 계수 차원과 일치합니다. 그러나 설명하기가 조금 더 어려워지는 대신 더 일반적입니다.

토폴로지 차원은 항상 정수인 것입니다. 여기서 (느슨하게 말하면) 곡선 같은 것은 1차원이고 표면 같은 것은 2차원입니다. 예를 들어 코흐 곡선의 토폴로지 차원은 1이고 하우스도르프 차원은 1.262입니다. 거친 표면은 위상적 차원이 2일 수 있지만 프랙탈 차원은 2.3일 수 있습니다. 그리고 위상 차원이 1인 곡선에 우연히 정확히 2, 3, 4 등이 되는 Hausdorff 차원이 있는 경우 프랙탈 차원이 정수이더라도 프랙탈로 간주됩니다.

자세한 내용과 더 많은 예를 보려면 Mandelbrot의 저서 "The Fractal Geometry of Nature"를 참조하세요.


https://youtu.be/gB9n2gHsHN4