리만가설(제타함수) 한방 정리

안될과학 Unrealscience

긴급한 과학 뉴스만 찾아서 3분안에 알려드리는, [긴급과학]!
오늘의 주제는 159년 동안 누구도 증명하지 못했던
세계 7대 난제 '리만 가설'에 대한 내용을 조사했습니다.

참고자료:
https://m.blog.naver.com/dkimhee/220562526822

리만 가설 - 소수정리

리만 가설
작가 존 더비셔
발매 2006.10.10.

페렐만이 필즈메달 수상을 거부하고 잠적한 후, 곧 그가 우크라이나 작은 도시에서 어머니하고 허름한 아파트에 단 둘이 지내고 있다는 것이 밝혀졌다. 그게 좀 됐는데 그 후로 물리학술회의 갈 때마다 외국인 학자들과 저녁을 먹으면서 이 이야기가 화제에 오르곤 했다. 그도 그럴 것이 페렐만은 역사상 가장 어려운 난제 중의 하나였던 푸앵카레 추측(Poincare Conjecture)을 증명한 인물로 프린스턴고등연구소에서 증명을 위한 발표를 몇 시간에 걸쳐 하는데 수학 문제에 엔트로피 등 온갖 물리적 용어를 동원하여 풀었다고 하니 아무도 이해 못하였고 그 후 2년 여 검증을 거쳐 결국 맞는 것으로 밝혀진다. 4년마다 주어지는 노벨수학상 격인 필즈메달을 상금 백만 달러와 함께 거부하고 은둔한 이유는 무엇일까?

푸앵카레추측은 수학의 일대 난제로서 페르마 정리와 소수(prime number) 정리와 함께 관련 사람들에게 회자된다. 페르마정리도 증명되었고 이제 소수 정리만 남았다. 그렇다면 소수정리란 무엇인가인데 간단하게 수학 용어를 극도로 제한하고 설명해 보겠다. 물론 디테일은 나 자신도 이해하지 못한다. 예를 들어 순열에서 홀수의 집합은 2n-1로서 n = 1,2,3...으로 나타내면 어떠한 큰 홀수도 이 식 하나로 정리된다. 소수정리라 함은 소수도 이렇게 순열의 형식으로 예측되지 않겠나 하는 것이다. 물론 아직 풀리지 않았다.

알다시피 소수는 1을 제외하고 자기 자신 외에는 나누어지지 않는 수이다. 10까지를 예를 들어보면 2, 3, 5, 7이 소수이다. 그 외의 수는 합성수(composite number)라 이른다. 쌍둥이 소수(twin prime number)라는 게 있다. 이 소수는 쌍을 이루는데 연이어진 소수 사이에 합성수가 하나 있을 때를 이른다. 10까지의 소수에서 (3,5), (5,7)들이 바로 쌍둥이 소수이다. 별거 아닌 것 같지만 수가 매우 커질 때는 이야기가 전혀 달라진다. 수가 매우 커지면 이 쌍둥이 소수는 매우 드물게 나타난다. 커질수록 수의 망망대해에 외롭게 떠있는 섬처럼 극히 드물게 나타나며 규칙성이 보이지 않는 것처럼 보인다. 이러한 불규칙성을 순열 같은 형식으로 예측하자는 소수정리가 있기나 한 것일까 ?

근본 의문은 이 소수들을 순열처럼 예측하는 식이 가능하냐라는 것이다. 일일이 수를 써서 밝혀낼 수는 없잖은가 ? 이의 단서를 제공한 수학자가 바로 리만(Riemann)이다. 리만은 기하학으로 잘 알려져 있고 유클리드 기하학을 뛰어 넘어 곡면에서의 기하학을 창시한 천재수학자로서 이 기하학이 바로 아인시타인의 일반상대론의 근간을 이룬다. 리만가설(Riemann Hypothesis)이라 불리는 그의 소수에 관한 정리는 수의 어느 영역에서 소수의 개수를 알 수 있다는 것이다. 예를 들어 100까지의 정수 안에 소수의 개수는 우리가 셀 수 있다. 수는 무한히 커지므로 매우 큰 어떠한 수에 대해서도 소수의 개수를 일반적으로 알아낼 수 있다는 것이다. 이를 제타함수라 부르는데 정말 그렇다면 이는 증명이 필요한 부분이다.

이 책 리만 가설은 이 가설의 수학적 배경을 알기 쉽게(?) 표현한 것이다. 책이 독특하게 구성되어 만약 수학에 대한 배경 지식을 알고 있는 독자는 전부 읽으면 되고 그렇지 않으면 홀수 챕터만 읽으면 된다. 짝수 챕터는 수학이 전혀 들어가 있지 않고 수학적 배경을 말로 표현한 것이기 때문이다. 매우 잘 써진 책이다.

제타 함수에 대한 증명 시도는 리만이 제시한 이래 수많이 이루어졌고 영화 ‘Beautiful Mind’의 존 내쉬도 이를 증명하려다가 정신분열증에 걸렸을 만큼 난제이기도 하다. 아직 증명되지 않았고 혹자는 제타함수는 틀렸을 것이라고 추측하기도 한다. 여하튼 두고 볼 일이다.

앞으로 돌아가서 페렐만이야기가 어떻게 되었냐고 ? 일 년 전인가 어느 미국의 물리학자에게 학술회의에서 들은 얘기인데 그가 잠적한 이유로서 ‘우주의 비밀을 푼 자기가 왜 그런 것에 관심을 갖겠는가?’ 되물었다 한다. 이것이 사실이든 아니든 일단 학자들의 가십거리 궁금증은 일단락 지어졌다. 동의하고 부럽다. 그는 행복한 사람이었던 것이다. 이 난제를 풀기 위해 3년을 두문불출했고 그 과정의 고통과 우울이 짐작 간다. 지구상에 유일하게 존재하고 있는 푸앵카레 추측을 푼 지성이 그 까짓 돈 몇 푼(?)과 명예에 휘둘리겠는가? 이 소문이 사실이든 아니든 우리는 이쯤에서 그를 놔줘야 한다.

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*관련 있는 블로그글로서 예전에 읽은 ‘소수의 고독’이라는 소설을 첨부한 것은 소설 제목의 소수는 중의로 써져 ‘작은’이라는 뜻에서의 ‘소수’와 prime number로서의 소수라는 뜻이 들어가 있어 소수와 관계있기 때문이다. 이 소설의 저자는 현재 유럽입자물리연구소에서 LHC 실험을 하고 있는(아마 지금쯤 박사를 받았을 것임) 물리학자로서 이 사람은 쌍둥이 소수가 얼마나 외롭다는 것을 실지로 느꼈다는 느낌을 받는다. 넘버가 외롭다고 ? 쌍둥이 소수가 뭐인지를 알면 정말 외롭다는 것을 느끼게 된다. 즉, 넘버를 인간의 사랑에 대비시킨 소설이다. 내용을 보면 누가 소수이고 합성수이고 쌍둥이 소수인지를 나는 알겠더라. 비록 인간들의 이야기이지만...

 http://blog.naver.com/dkimhee/60166638163

https://youtu.be/_02sxtRrdU4